La inercia rotacional —la resistencia de un cuerpo giratorio a los cambios en su velocidad angular— es un parámetro que se considera cuidadosamente al dimensionar servomotores y reductores, pero que con frecuencia se pasa por alto al seleccionar el acoplamiento entre ellos. Este descuido es comprensible: el acoplamiento es pequeño, los valores en el catálogo parecen pequeños y el componente no aparece como un elemento en la mayoría de las hojas de cálculo de dimensionamiento de servomotores. Sin embargo, la inercia del acoplamiento contribuye directamente a la inercia total reflejada en el eje del motor, y cuando representa una fracción significativa de la inercia del rotor del motor, degrada el rendimiento dinámico del servo de maneras que no se pueden compensar solo con ajustes.
Este artículo explica qué es la inercia rotacional, cómo calcularla para un acoplamiento Oldham, por qué es importante para el rendimiento del servomotor y cómo mantenerla dentro de límites aceptables durante la selección del acoplamiento.
¿Qué es la inercia rotacional y por qué es importante?
La inercia rotacional (también llamada momento de inercia) es el análogo rotacional de la masa lineal. Así como un objeto pesado requiere más fuerza para acelerar linealmente, un objeto en rotación con alta inercia requiere más torque para acelerar angularmente. La relación es: Par motor = Inercia × Aceleración angular, que es el equivalente rotacional de la segunda ley de Newton.
Para un sistema de servomotor, la inercia total que el motor debe acelerar consta de:
- La inercia del rotor del motor (J_motor) — fija para un motor dado
- La inercia del acoplamiento (J_coupling) se aplica directamente al eje del motor.
- La inercia de carga reflejada en el eje del motor (J_load_reflected) depende de la relación de la caja de cambios y de la masa/geometría de la carga.
El acoplamiento se asienta sobre el eje del motor (o muy cerca de él), por lo que su inercia contribuye en una proporción 1:1 sin reducción de engranajes que la modere. Un acoplamiento con 50 g·cm² de inercia aporta los 50 g·cm² completos a la carga total del motor. Una carga de la misma masa en el lado opuesto de una caja de engranajes 5:1 contribuye solo con 50/25 = 2 g·cm² reflejados al motor. Esta relación geométrica —la inercia del acoplamiento cuenta en su totalidad, la inercia de la carga se divide por el cuadrado de la relación de engranajes— significa que la inercia del acoplamiento puede ser desproporcionadamente significativa incluso cuando la masa del acoplamiento es pequeña en relación con el sistema total.
Cómo afecta la relación de inercia al rendimiento del servomotor
La relación de inercia —la inercia total de la carga dividida por la inercia del rotor del motor— es el parámetro clave para el rendimiento dinámico del servomotor. Cuando la relación de inercia se aproxima a 1:1 (la inercia de la carga es igual a la del motor), el sistema de servomotor está bien adaptado y puede ajustarse a un ancho de banda elevado con buenos márgenes de estabilidad. A medida que aumenta la relación de inercia, el ancho de banda alcanzable disminuye para un margen de estabilidad dado, y el servomotor comienza a presentar problemas característicos.
- Por encima de 3:1 — La sintonización del servo se vuelve notablemente más difícil; las ganancias del bucle de posición deben reducirse para mantener la estabilidad, lo que reduce la precisión de seguimiento.
- Por encima de 5:1 — La vibración y la resonancia se convierten en problemas importantes; el servomotor puede oscilar durante los movimientos de aceleración y desaceleración.
- Por encima de 10:1 — El servomotor tendrá dificultades para mantener la estabilidad en cualquier ancho de banda útil; el dimensionamiento del motor puede ser inadecuado para el rendimiento dinámico requerido.
Si el acoplamiento contribuye con el 15 por ciento de la inercia del rotor del motor —una situación común cuando se selecciona un acoplamiento sobredimensionado— y el resto de la carga reflejada ya tiene una relación de 3:1, la relación de inercia real pasa a ser de 3,15:1. Esto representa un aumento del 5 por ciento, que parece pequeño, pero puede marcar la diferencia entre una sintonización estable en el ancho de banda requerido y una inestabilidad persistente que obliga a reducir la ganancia y degrada la precisión.
Cómo calcular la inercia de acoplamiento
Para un cilindro sólido —la aproximación más simple para un cubo de acoplamiento— el momento de inercia respecto al eje de rotación es:
J = ½ × m × r²
donde m es la masa en kg y r es el radio exterior en metros. Para un conjunto de acoplamiento Oldham con un orificio (cilindro hueco), la fórmula se convierte en:
J = ½ × m × (r_exterior² + r_interior²)
En la práctica, la geometría exacta de un cubo de acoplamiento Oldham —con sus ranuras, orificios y abrazaderas— hace que el cálculo analítico sea complejo. El método correcto consiste en utilizar el valor de inercia publicado en la hoja de datos del fabricante, que se calcula a partir de la geometría CAD real o se mide en una muestra física. Para cálculos manuales o estimaciones preliminares cuando no se dispone de los valores de la hoja de datos, utilice la fórmula del cilindro sólido como límite superior; la inercia real será algo menor debido al material eliminado para los orificios, las ranuras y las abrazaderas.
La inercia total del acoplamiento es la suma de las inercias de ambos bujes y la inercia del disco. En el caso de discos de polímero, la inercia del disco suele representar entre el 5 y el 15 por ciento de la inercia total del acoplamiento; un valor pequeño, pero no siempre despreciable a alta precisión. Los valores de la hoja de datos para la inercia del acoplamiento deben incluir los tres componentes.
Efecto del material del buje sobre la inercia
Dado que la inercia es proporcional a la masa (y, por lo tanto, a la densidad del material), la elección entre bujes de aluminio y acero inoxidable tiene un efecto directo y significativo en la inercia de acoplamiento. El acero inoxidable tiene aproximadamente 2,9 veces la densidad del aluminio, por lo que los bujes de acero inoxidable de la misma geometría contribuyen aproximadamente 2,9 veces a la inercia de los bujes de aluminio equivalentes.
Esta diferencia es importante cuando se especifican bujes de acero inoxidable por motivos medioambientales (industria alimentaria, farmacéutica, naval, lavado a presión). El ingeniero debe verificar que la mayor inercia de la versión de acero inoxidable no supere el límite aceptable de la relación de inercia del servosistema. En algunos casos, puede ser necesario sustituir un acoplamiento de acero inoxidable de mayor tamaño por uno de menor tamaño —aceptando un margen de par reducido— para mantener la inercia dentro de los límites permitidos.
| Diámetro exterior del acoplamiento (mm) | Bujes de aluminio (g·cm²) | Bujes de acero inoxidable (g·cm²) | Relación de inercia (SS / Al) |
|---|---|---|---|
| 20 | 0.35 | 1.0 | 2,9× |
| 25 | 0.85 | 2.5 | 2,9× |
| 32 | 2.8 | 8.1 | 2,9× |
| 40 | 8.5 | 24.7 | 2,9× |
| 50 | 22.0 | 63.8 | 2,9× |
Por qué el diámetro exterior tiene más impacto que la longitud en la inercia.
Un error común es creer que un acoplamiento más corto y ancho, y otro más largo y estrecho, de la misma masa, tienen la misma inercia. Esto no es cierto. Dado que la inercia es proporcional al cuadrado del radio, el diámetro exterior influye desproporcionadamente en la inercia en relación con la longitud.
Consideremos dos acoplamientos con la misma masa: uno con un diámetro exterior (DE) de 40 mm y una longitud de 30 mm, y otro con un DE de 32 mm y una longitud de 47 mm. El acoplamiento de 40 mm tendrá aproximadamente un 56 % más de inercia que el de 32 mm, a pesar de tener la misma masa, debido a que su masa se distribuye en un radio mayor. La implicación práctica es que, cuando minimizar la inercia es importante, conviene elegir el DE más pequeño que cumpla con el requisito de par, incluso si esto implica aceptar un acoplamiento más largo para adaptarse a la longitud de orificio requerida. La reducción de la inercia mediante la reducción del DE siempre es más efectiva que la reducción de la longitud.
Directrices prácticas para la elaboración de presupuestos por inercia
Las siguientes directrices abarcan los escenarios más comunes en el diseño de sistemas de movimiento de precisión y servoaccionamientos:
Ejes servo de alto ancho de banda (CNC, robótica, sistemas de recogida y colocación): Mantenga la inercia del acoplamiento por debajo del 5 % de la inercia del rotor del motor. Estas aplicaciones requieren una aceleración y desaceleración rápidas con una precisión de posicionamiento estricta. Cualquier inercia innecesaria limita directamente el ancho de banda alcanzable. Utilice el diámetro exterior del acoplamiento más pequeño que cumpla con los requisitos de par y diámetro interior, con bujes de aluminio.
Ejes servo estándar (automatización general, embalaje, indexación de cintas transportadoras): Generalmente, se acepta una inercia de acoplamiento de hasta el 10 % de la inercia del rotor del motor. El ancho de banda del servomotor requerido para estas aplicaciones es moderado, y se puede compensar una relación de inercia ligeramente mayor mediante ajustes en la configuración del servomotor.
Accionamientos de motores paso a paso: A menudo se acepta una inercia de acoplamiento de hasta el 15 % de la inercia del rotor del motor paso a paso, ya que estos motores suelen funcionar muy por debajo de su límite de par dinámico y toleran relaciones de inercia mayores que los servomotores antes de que la pérdida de pasos se convierta en un problema. Sin embargo, conviene comprobar que la inercia de acoplamiento no eleve la inercia reflejada total por encima de la carga de inercia máxima recomendada para el motor paso a paso.
Conexiones del codificador: La inercia del acoplamiento debe ser inferior al 1 por ciento de la inercia del eje del codificador y del rotor. Los acoplamientos Oldham en miniatura con un diámetro exterior de entre 16 y 20 mm y bujes de aluminio suelen cumplir fácilmente este criterio: se pueden alcanzar valores de inercia del disco y del buje de entre 0,1 y 0,35 g·cm².
Cálculo de inercia trabajada
Dado: Un servomotor con una inercia de rotor J_motor = 150 g·cm² acciona un husillo de bolas mediante un acoplamiento Oldham de aluminio de 32 mm de diámetro exterior. El catálogo indica una inercia de acoplamiento J_acoplamiento = 2,8 g·cm². La inercia de carga reflejada en el eje del motor (husillo de bolas + tuerca + carro) es J_carga = 280 g·cm².
Inercia reflejada total: J_total = J_motor + J_acoplamiento + J_carga = 150 + 2,8 + 280 = 432,8 g·cm²
Relación de inercia: J_carga_total / J_motor = (J_acoplamiento + J_carga) / J_motor = (2,8 + 280) / 150 = 1,89:1
Contribución de acoplamiento: J_acoplamiento / J_motor = 2,8 / 150 = 1,87% — muy por debajo de la directriz de 10%. Este acoplamiento tiene el tamaño adecuado para la inercia en esta aplicación.
Si la misma aplicación requiriera bujes de acero inoxidable para un entorno de lavado, el acoplamiento J aumentaría a aproximadamente 8,1 g·cm² (2,9 veces el valor del aluminio). La contribución del acoplamiento aumenta a 5,41 TP3T de inercia del motor, lo que aún se encuentra dentro de la directriz de 101 TP3T, pero conviene confirmarlo antes de finalizar la especificación.
Conclusión
La inercia del acoplamiento es un valor pequeño que, si se ignora, puede tener un efecto desproporcionado en el rendimiento del servomotor. Dado que el acoplamiento se asienta directamente sobre el eje del motor sin una relación de engranajes que reduzca su inercia reflejada, contribuye totalmente a la inercia total. Mantener la inercia del acoplamiento por debajo del 5 al 10 por ciento de la inercia del rotor del motor —seleccionando el diámetro exterior más pequeño que cumpla con los requisitos de par y diámetro interior, utilizando bujes de aluminio en lugar de acero inoxidable cuando el entorno lo permita, e incluyendo el término del acoplamiento en cada cálculo de inercia del servomotor— elimina una fuente de degradación del rendimiento del servomotor que es fácil de prevenir en la etapa de diseño y difícil de diagnosticar después de la puesta en marcha.
Explore nuestra Gama de acoplamientos Oldham con especificaciones completas de inercia, o Contacta con nuestro equipo de ingeniería. para obtener ayuda con el cálculo de la inercia específica para su sistema de servoaccionamiento.
