Das Trägheitsmoment – der Widerstand eines rotierenden Körpers gegen Änderungen seiner Winkelgeschwindigkeit – ist ein Parameter, der bei der Dimensionierung von Servomotoren und Getrieben sorgfältig beachtet wird, bei der Auswahl der dazwischenliegenden Kupplung jedoch häufig vernachlässigt wird. Dieses Versäumnis ist verständlich: Die Kupplung ist klein, die Zahlen im Katalog wirken gering, und das Bauteil erscheint in den meisten Tabellen zur Servoantriebsdimensionierung nicht als Position. Das Trägheitsmoment der Kupplung trägt jedoch direkt zum Gesamtträgheitsmoment der Motorwelle bei, und wenn es einen signifikanten Anteil des Rotorträgheitsmoments des Motors ausmacht, verschlechtert es die dynamische Leistung des Servos in einer Weise, die sich nicht allein durch die Abstimmung kompensieren lässt.
Dieser Artikel erklärt, was Rotationsinertie ist, wie man sie für eine Oldham-Kupplung berechnet, warum sie für die Servoleistung wichtig ist und wie man sie bei der Kupplungsauswahl in akzeptablen Grenzen hält.
Was ist Rotationsinertie und warum ist sie wichtig?
Das Trägheitsmoment (auch Rotationsinertie genannt) ist das Rotationsanalogon der linearen Masse. So wie ein schwerer Körper mehr Kraft benötigt, um linear zu beschleunigen, benötigt ein rotierender Körper mit hohem Trägheitsmoment mehr Drehmoment, um winkelbeschleunigt zu werden. Der Zusammenhang ist: Drehmoment = Trägheitsmoment × WinkelbeschleunigungDies ist das Rotationsäquivalent des zweiten Newtonschen Gesetzes.
Bei einem Servomotorsystem setzt sich die gesamte Trägheit, die der Motor beschleunigen muss, aus Folgendem zusammen:
- Eigenrotorträgheit des Motors (J_motor) – für einen gegebenen Motor fest.
- Das Kupplungsträgheitsmoment (J_Kupplung) – direkt auf der Motorwelle
- Die auf die Motorwelle reflektierte Lastträgheit (J_load_reflected) hängt vom Getriebeübersetzungsverhältnis und der Lastmasse/Geometrie ab.
Die Kupplung sitzt auf der Motorwelle (oder sehr nahe daran), sodass ihre Massenträgheit ohne Getriebeuntersetzung im Verhältnis 1:1 zur Gesamtlast beiträgt. Eine Kupplung mit 50 g·cm² Massenträgheit trägt die vollen 50 g·cm² zur Gesamtlast des Motors bei. Eine Last gleicher Masse auf der anderen Seite eines 5:1-Getriebes trägt hingegen nur 50/25 = 2 g·cm² zur Gesamtlast des Motors bei. Dieses geometrische Verhältnis – die Massenträgheit der Kupplung zählt vollständig, die Massenträgheit der Last wird durch das Quadrat des Übersetzungsverhältnisses geteilt – bedeutet, dass die Massenträgheit der Kupplung selbst dann unverhältnismäßig groß sein kann, wenn die Masse der Kupplung im Verhältnis zum Gesamtsystem gering ist.
Wie sich das Trägheitsverhältnis auf die Servoleistung auswirkt
Das Trägheitsverhältnis – die Gesamtträgheit der Last geteilt durch die Rotorträgheit des Motors – ist der entscheidende Parameter für die dynamische Leistungsfähigkeit des Servosystems. Liegt das Trägheitsverhältnis nahe bei 1:1 (Lasträgheit entspricht der Motorträgheit), ist das Servosystem optimal angepasst und kann mit guten Stabilitätsreserven auf eine hohe Bandbreite eingestellt werden. Mit steigendem Trägheitsverhältnis sinkt die erreichbare Bandbreite bei gegebener Stabilitätsreserve, und das Servosystem zeigt charakteristische Probleme.
- Über 3:1 — Die Servoabstimmung wird merklich schwieriger; die Verstärkung des Positionsregelkreises muss reduziert werden, um die Stabilität zu gewährleisten, was die Nachführgenauigkeit verringert.
- Über 5:1 — Vibrationen und Resonanz stellen erhebliche Probleme dar; der Servo kann bei Beschleunigungs- und Bremsvorgängen schwingen.
- Über 10:1 — Der Servo wird Schwierigkeiten haben, die Stabilität in einem nutzbaren Frequenzbereich aufrechtzuerhalten; die Motordimensionierung ist möglicherweise für die erforderliche dynamische Leistung unzureichend.
Wenn die Kupplung 15 Prozent zur Rotorträgheit des Motors beiträgt – was bei einer überdimensionierten Kupplung nicht ungewöhnlich ist – und die übrige reflektierte Last bereits ein Verhältnis von 3:1 aufweist, ergibt sich ein tatsächliches Trägheitsverhältnis von 3,15:1. Dies entspricht einer Steigerung von 5 Prozent, die zwar gering erscheint, aber den entscheidenden Unterschied zwischen einer stabilen Abstimmung im erforderlichen Frequenzband und anhaltender Instabilität ausmachen kann, die eine Reduzierung der Verstärkung und eine verminderte Genauigkeit zur Folge hat.
Wie berechnet man die Kopplungsträgheit?
Für einen Vollzylinder – die einfachste Näherung für eine Kupplungsnabe – beträgt das Trägheitsmoment um die Drehachse:
J = ½ × m × r²
wobei m die Masse in kg und r der äußere Radius in Metern ist. Für eine Oldham-Kupplung mit Bohrung (Hohlzylinder) lautet die Formel:
J = ½ × m × (r_outer² + r_inner²)
Die genaue Geometrie einer Oldham-Kupplungsnabe – mit ihren Nuten, Bohrungen und Klemmvorrichtungen – macht eine analytische Berechnung in der Praxis komplex. Korrekterweise sollte der im Datenblatt des Herstellers angegebene Trägheitswert verwendet werden, der anhand der tatsächlichen CAD-Geometrie berechnet oder an einem physischen Muster gemessen wird. Für manuelle Berechnungen oder vorläufige Schätzungen, wenn keine Datenblattwerte verfügbar sind, kann die Formel für einen Vollzylinder als obere Grenze verwendet werden – die tatsächliche Trägheit ist aufgrund des Materialabtrags für Bohrungen, Nuten und Klemmvorrichtungen etwas geringer.
Das gesamte Kupplungsträgheitsmoment ist die Summe der Trägheitsmomente der Nabe und der Scheibe. Bei Polymerscheiben beträgt das Scheibenträgheitsmoment typischerweise 5 bis 15 Prozent des gesamten Kupplungsträgheitsmoments – ein geringer Wert, der bei hohen Genauigkeiten jedoch nicht immer vernachlässigbar ist. Die Werte im Datenblatt für das Kupplungsträgheitsmoment sollten alle drei Komponenten berücksichtigen.
Einfluss des Nabenmaterials auf die Trägheit
Da die Trägheit mit der Masse (und damit mit der Materialdichte) skaliert, hat die Wahl zwischen Naben aus Aluminium und Edelstahl einen direkten und signifikanten Einfluss auf die Kopplungsträgheit. Edelstahl besitzt eine etwa 2,9-mal höhere Dichte als Aluminium, daher tragen Edelstahlnaben mit gleicher Geometrie etwa zur 2,9-fachen Trägheit äquivalenter Aluminiumnaben bei.
Dieser Unterschied ist wichtig, wenn aus Umweltschutzgründen (Lebensmittelindustrie, Pharmaindustrie, Schifffahrt, Nassreinigung) Naben aus Edelstahl spezifiziert werden. Der Ingenieur muss sicherstellen, dass die höhere Massenträgheit der Edelstahlversion das Massenträgheitsverhältnis des Servosystems nicht über den zulässigen Grenzwert hinaus erhöht. In manchen Fällen muss eine größere Edelstahlkupplung durch eine kleinere ersetzt werden – wobei ein reduzierter Drehmomentspielraum in Kauf genommen werden muss –, um die Massenträgheit im zulässigen Bereich zu halten.
| Kupplungs-Außendurchmesser (mm) | Aluminiumnaben (g·cm²) | Naben aus Edelstahl (g·cm²) | Trägheitsverhältnis (SS / Al) |
|---|---|---|---|
| 20 | 0.35 | 1.0 | 2,9× |
| 25 | 0.85 | 2.5 | 2,9× |
| 32 | 2.8 | 8.1 | 2,9× |
| 40 | 8.5 | 24.7 | 2,9× |
| 50 | 22.0 | 63.8 | 2,9× |
Warum der Außendurchmesser einen größeren Einfluss auf die Trägheit hat als die Länge
Ein weit verbreiteter Irrtum ist, dass eine kürzere, breitere und eine längere, schmalere Kupplung mit gleicher Masse die gleiche Trägheit besitzen. Das ist nicht der Fall. Da die Trägheit proportional zum Quadrat des Radius ist, hat der Außendurchmesser im Vergleich zur Länge einen unverhältnismäßig großen Einfluss auf die Trägheit.
Betrachten wir zwei Kupplungen gleicher Masse: eine mit 40 mm Außendurchmesser und 30 mm Länge und eine weitere mit 32 mm Außendurchmesser und 47 mm Länge. Die 40-mm-Kupplung weist trotz identischer Masse eine um etwa 56 Prozent höhere Massenträgheit auf als die 32-mm-Kupplung, da ihre Masse über einen größeren Radius verteilt ist. Die praktische Konsequenz: Wenn eine Minimierung der Massenträgheit wichtig ist, wählen Sie den kleinsten Außendurchmesser, der das erforderliche Drehmoment erfüllt, selbst wenn dies eine längere Kupplung zur Realisierung der benötigten Bohrungslänge bedeutet. Die Reduzierung der Massenträgheit durch Verringerung des Außendurchmessers ist stets effektiver als durch Verringerung der Länge.
Praktische Richtlinien für die Budgetierung bei Trägheit
Die folgenden Richtlinien decken die häufigsten Szenarien bei der Konstruktion von Präzisionsantrieben und Servoantrieben ab:
Servoachsen mit hoher Bandbreite (CNC, Robotik, Pick-and-Place): Die Kupplungsträgheit sollte unter 5 % der Rotorträgheit des Motors liegen. Diese Anwendungen erfordern schnelles Beschleunigen und Abbremsen bei hoher Positioniergenauigkeit. Jede unnötige Trägheit begrenzt die erreichbare Bandbreite. Verwenden Sie den kleinsten Kupplungsaußendurchmesser, der die Drehmoment- und Bohrungsanforderungen erfüllt, mit Naben aus Aluminium.
Standard-Servoachsen (allgemeine Automatisierung, Verpackung, Förderband-Indexierung): Eine Kopplungsträgheit von bis zu 10 Prozent der Rotorträgheit des Motors ist im Allgemeinen akzeptabel. Die für diese Anwendungen erforderliche Servobandbreite ist moderat, und ein etwas höheres Trägheitsverhältnis kann durch Anpassungen der Servoeinstellung kompensiert werden.
Schrittmotorantriebe: Eine Kopplungsmasse von bis zu 15 Prozent der Rotormasse des Schrittmotors ist oft akzeptabel, da Schrittmotoren typischerweise weit unterhalb ihrer dynamischen Drehmomentgrenze betrieben werden und höhere Massenträgheitsverhältnisse als Servomotoren tolerieren, bevor Schrittverluste relevant werden. Es ist jedoch zu prüfen, ob die Kopplungsmasse die gesamte reflektierte Massenträgheit nicht über die empfohlene maximale Massenträgheitslast des Schrittmotors ansteigen lässt.
Encoder-Anschlüsse: Das Trägheitsmoment der Kupplung sollte unter 1 Prozent des Trägheitsmoments von Geberwelle und Rotor liegen. Miniatur-Oldham-Kupplungen mit Aluminiumnaben im Außendurchmesserbereich von 16 bis 20 mm erfüllen dieses Kriterium typischerweise problemlos – Trägheitsmomente von Scheibe und Nabe im Bereich von 0,1 bis 0,35 g·cm² sind erreichbar.
Eine Berechnung der Trägheitsenergie
Gegeben: Ein Servomotor mit einem Rotorträgheitsmoment J_Motor = 150 g·cm² treibt über eine 32 mm Außendurchmesser Aluminium-Oldham-Kupplung eine Kugelumlaufspindel an. Laut Katalog beträgt das Kupplungsträgheitsmoment J_Kupplung = 2,8 g·cm². Das reflektierte Lastträgheitsmoment an der Motorwelle (Kugelumlaufspindel + Mutter + Schlitten) beträgt J_Last = 280 g·cm².
Gesamte reflektierte Trägheit: J_gesamt = J_Motor + J_Kupplung + J_Last = 150 + 2,8 + 280 = 432,8 g·cm²
Trägheitsverhältnis: J_load_total / J_motor = (J_coupling + J_load) / J_motor = (2,8 + 280) / 150 = 1,89:1
Kopplungsbeitrag: J_Kupplung / J_Motor = 2,8 / 150 = 1,87% – deutlich innerhalb der Richtlinie 10%. Die Kupplung ist für die Massenträgheit in dieser Anwendung korrekt dimensioniert.
Wenn für dieselbe Anwendung Naben aus Edelstahl für eine Nassreinigungsumgebung erforderlich wären, würde die J-Kupplung auf ca. 8,1 g·cm² ansteigen (das 2,9-Fache des Aluminiumwertes). Der Beitrag der Kupplung zur Motorträgheit erhöht sich auf 5,41 TP3T – immer noch innerhalb der Richtlinie von 101 TP3T, aber eine Bestätigung vor der endgültigen Spezifikationsfestlegung ist ratsam.
Abschluss
Die Kupplungsträgheit ist zwar klein, kann aber die Leistung des Servosystems unverhältnismäßig stark beeinträchtigen, wenn sie vernachlässigt wird. Da die Kupplung direkt auf der Motorwelle sitzt und keine Übersetzung zur Reduzierung ihrer reflektierten Trägheit vorhanden ist, trägt sie vollständig zum Gesamtträgheitsverhältnis bei. Indem man die Kupplungsträgheit unter 5 bis 10 Prozent der Rotorträgheit des Motors hält – beispielsweise durch die Wahl des kleinstmöglichen Außendurchmessers, der die Drehmoment- und Bohrungsanforderungen erfüllt, durch die Verwendung von Aluminium- statt Edelstahlnaben, sofern die Umgebungsbedingungen dies zulassen, und durch die Berücksichtigung des Kupplungsterms in jeder Servoträgheitsberechnung –, lässt sich eine Quelle für Leistungseinbußen im Servosystem eliminieren, die sich in der Konstruktionsphase leicht vermeiden, nach der Inbetriebnahme jedoch nur schwer diagnostizieren lässt.
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