Das Trägheitsmoment – der Widerstand eines rotierenden Körpers gegen Änderungen seiner Winkelgeschwindigkeit – ist ein Parameter, der bei der Dimensionierung von Servomotoren und Getrieben sorgfältig beachtet wird, bei der Auswahl der dazwischenliegenden Kupplung jedoch häufig vernachlässigt wird. Dieses Versäumnis ist verständlich: Die Kupplung ist klein, die Zahlen im Katalog wirken gering, und das Bauteil erscheint in den meisten Tabellen zur Servoantriebsdimensionierung nicht als Position. Das Trägheitsmoment der Kupplung trägt jedoch direkt zum Gesamtträgheitsmoment der Motorwelle bei, und wenn es einen signifikanten Anteil des Rotorträgheitsmoments des Motors ausmacht, verschlechtert es die dynamische Leistung des Servos in einer Weise, die sich nicht allein durch die Abstimmung kompensieren lässt.
Dieser Artikel erklärt, was Rotationsinertie ist, wie man sie für eine Oldham-Kupplung berechnet, warum sie für die Servoleistung wichtig ist und wie man sie bei der Kupplungsauswahl in akzeptablen Grenzen hält.
Das Trägheitsmoment (auch Rotationsinertie genannt) ist das Rotationsanalogon der linearen Masse. So wie ein schwerer Körper mehr Kraft benötigt, um linear zu beschleunigen, benötigt ein rotierender Körper mit hohem Trägheitsmoment mehr Drehmoment, um winkelbeschleunigt zu werden. Der Zusammenhang ist: Drehmoment = Trägheitsmoment × Winkelbeschleunigung, which is the rotational equivalent of Newton’s second law.
Bei einem Servomotorsystem setzt sich die gesamte Trägheit, die der Motor beschleunigen muss, aus Folgendem zusammen:
The coupling sits on the motor shaft (or very close to it), so its inertia contributes at a 1:1 ratio with no gearbox reduction to moderate it. A coupling with 50 g·cm² of inertia contributes the full 50 g·cm² to the motor’s total load. A load of the same mass on the far side of a 5:1 gearbox contributes only 50/25 = 2 g·cm² reflected to the motor. This geometric relationship — coupling inertia counts fully, load inertia is divided by the gear ratio squared — means coupling inertia can be disproportionately significant even when the coupling mass is small relative to the total system.
Das Trägheitsverhältnis – die Gesamtträgheit der Last geteilt durch die Rotorträgheit des Motors – ist der entscheidende Parameter für die dynamische Leistungsfähigkeit des Servosystems. Liegt das Trägheitsverhältnis nahe bei 1:1 (Lasträgheit entspricht der Motorträgheit), ist das Servosystem optimal angepasst und kann mit guten Stabilitätsreserven auf eine hohe Bandbreite eingestellt werden. Mit steigendem Trägheitsverhältnis sinkt die erreichbare Bandbreite bei gegebener Stabilitätsreserve, und das Servosystem zeigt charakteristische Probleme.
Wenn die Kupplung 15 Prozent zur Rotorträgheit des Motors beiträgt – was bei einer überdimensionierten Kupplung nicht ungewöhnlich ist – und die übrige reflektierte Last bereits ein Verhältnis von 3:1 aufweist, ergibt sich ein tatsächliches Trägheitsverhältnis von 3,15:1. Dies entspricht einer Steigerung von 5 Prozent, die zwar gering erscheint, aber den entscheidenden Unterschied zwischen einer stabilen Abstimmung im erforderlichen Frequenzband und anhaltender Instabilität ausmachen kann, die eine Reduzierung der Verstärkung und eine verminderte Genauigkeit zur Folge hat.
Für einen Vollzylinder – die einfachste Näherung für eine Kupplungsnabe – beträgt das Trägheitsmoment um die Drehachse:
J = ½ × m × r²
wobei m die Masse in kg und r der äußere Radius in Metern ist. Für eine Oldham-Kupplung mit Bohrung (Hohlzylinder) lautet die Formel:
J = ½ × m × (r_outer² + r_inner²)
In practice, the exact geometry of an Oldham coupling hub — with its slot, bore, and clamp features — makes an analytical calculation complex. The correct approach is to use the inertia value published in the manufacturer’s datasheet, which is calculated from the actual CAD geometry or measured on a physical sample. For hand calculations or preliminary estimates when datasheet values are not available, use the solid cylinder formula as an upper bound — the actual inertia will be somewhat lower due to material removed for the bore, slots, and clamp features.
Das gesamte Kupplungsträgheitsmoment ist die Summe der Trägheitsmomente der Nabe und der Scheibe. Bei Polymerscheiben beträgt das Scheibenträgheitsmoment typischerweise 5 bis 15 Prozent des gesamten Kupplungsträgheitsmoments – ein geringer Wert, der bei hohen Genauigkeiten jedoch nicht immer vernachlässigbar ist. Die Werte im Datenblatt für das Kupplungsträgheitsmoment sollten alle drei Komponenten berücksichtigen.
Da die Trägheit mit der Masse (und damit mit der Materialdichte) skaliert, hat die Wahl zwischen Naben aus Aluminium und Edelstahl einen direkten und signifikanten Einfluss auf die Kopplungsträgheit. Edelstahl besitzt eine etwa 2,9-mal höhere Dichte als Aluminium, daher tragen Edelstahlnaben mit gleicher Geometrie etwa zur 2,9-fachen Trägheit äquivalenter Aluminiumnaben bei.
This difference is important when stainless steel hubs are specified for environmental reasons (food industry, pharmaceutical, marine, washdown). The engineer must verify that the higher inertia of the stainless steel version does not push the servo system’s inertia ratio beyond the acceptable limit. In some cases, a larger stainless steel coupling may need to be replaced with a smaller one — accepting a reduced torque margin — to keep inertia within budget.
| Kupplungs-Außendurchmesser (mm) | Aluminiumnaben (g·cm²) | Naben aus Edelstahl (g·cm²) | Trägheitsverhältnis (SS / Al) |
|---|---|---|---|
| 20 | 0.35 | 1.0 | 2,9× |
| 25 | 0.85 | 2.5 | 2,9× |
| 32 | 2.8 | 8.1 | 2,9× |
| 40 | 8.5 | 24.7 | 2,9× |
| 50 | 22.0 | 63.8 | 2,9× |
Ein weit verbreiteter Irrtum ist, dass eine kürzere, breitere und eine längere, schmalere Kupplung mit gleicher Masse die gleiche Trägheit besitzen. Das ist nicht der Fall. Da die Trägheit proportional zum Quadrat des Radius ist, hat der Außendurchmesser im Vergleich zur Länge einen unverhältnismäßig großen Einfluss auf die Trägheit.
Betrachten wir zwei Kupplungen gleicher Masse: eine mit 40 mm Außendurchmesser und 30 mm Länge und eine weitere mit 32 mm Außendurchmesser und 47 mm Länge. Die 40-mm-Kupplung weist trotz identischer Masse eine um etwa 56 Prozent höhere Massenträgheit auf als die 32-mm-Kupplung, da ihre Masse über einen größeren Radius verteilt ist. Die praktische Konsequenz: Wenn eine Minimierung der Massenträgheit wichtig ist, wählen Sie den kleinsten Außendurchmesser, der das erforderliche Drehmoment erfüllt, selbst wenn dies eine längere Kupplung zur Realisierung der benötigten Bohrungslänge bedeutet. Die Reduzierung der Massenträgheit durch Verringerung des Außendurchmessers ist stets effektiver als durch Verringerung der Länge.
Die folgenden Richtlinien decken die häufigsten Szenarien bei der Konstruktion von Präzisionsantrieben und Servoantrieben ab:
Servoachsen mit hoher Bandbreite (CNC, Robotik, Pick-and-Place): Die Kupplungsträgheit sollte unter 5 % der Rotorträgheit des Motors liegen. Diese Anwendungen erfordern schnelles Beschleunigen und Abbremsen bei hoher Positioniergenauigkeit. Jede unnötige Trägheit begrenzt die erreichbare Bandbreite. Verwenden Sie den kleinsten Kupplungsaußendurchmesser, der die Drehmoment- und Bohrungsanforderungen erfüllt, mit Naben aus Aluminium.
Standard-Servoachsen (allgemeine Automatisierung, Verpackung, Förderband-Indexierung): Eine Kopplungsträgheit von bis zu 10 Prozent der Rotorträgheit des Motors ist im Allgemeinen akzeptabel. Die für diese Anwendungen erforderliche Servobandbreite ist moderat, und ein etwas höheres Trägheitsverhältnis kann durch Anpassungen der Servoeinstellung kompensiert werden.
Schrittmotorantriebe: Coupling inertia up to 15 percent of stepper rotor inertia is often acceptable, because stepper motors are typically operated well below their dynamic torque limit and can tolerate higher inertia ratios than servo motors before step loss becomes a concern. However, check that the coupling inertia does not push the total reflected inertia above the stepper motor’s recommended maximum inertia load.
Encoder-Anschlüsse: Das Trägheitsmoment der Kupplung sollte unter 1 Prozent des Trägheitsmoments von Geberwelle und Rotor liegen. Miniatur-Oldham-Kupplungen mit Aluminiumnaben im Außendurchmesserbereich von 16 bis 20 mm erfüllen dieses Kriterium typischerweise problemlos – Trägheitsmomente von Scheibe und Nabe im Bereich von 0,1 bis 0,35 g·cm² sind erreichbar.
Gegeben: Ein Servomotor mit einem Rotorträgheitsmoment J_Motor = 150 g·cm² treibt über eine 32 mm Außendurchmesser Aluminium-Oldham-Kupplung eine Kugelumlaufspindel an. Laut Katalog beträgt das Kupplungsträgheitsmoment J_Kupplung = 2,8 g·cm². Das reflektierte Lastträgheitsmoment an der Motorwelle (Kugelumlaufspindel + Mutter + Schlitten) beträgt J_Last = 280 g·cm².
Gesamte reflektierte Trägheit: J_gesamt = J_Motor + J_Kupplung + J_Last = 150 + 2,8 + 280 = 432,8 g·cm²
Trägheitsverhältnis: J_load_total / J_motor = (J_coupling + J_load) / J_motor = (2,8 + 280) / 150 = 1,89:1
Kopplungsbeitrag: J_Kupplung / J_Motor = 2,8 / 150 = 1,87% – deutlich innerhalb der Richtlinie 10%. Die Kupplung ist für die Massenträgheit in dieser Anwendung korrekt dimensioniert.
If the same application required stainless steel hubs for a washdown environment, J_coupling would increase to approximately 8.1 g·cm² (2.9× the aluminium value). The coupling’s contribution rises to 5.4% of motor inertia — still within the 10% guideline, but worth confirming before finalising the specification.
Die Kupplungsträgheit ist zwar klein, kann aber die Leistung des Servosystems unverhältnismäßig stark beeinträchtigen, wenn sie vernachlässigt wird. Da die Kupplung direkt auf der Motorwelle sitzt und keine Übersetzung zur Reduzierung ihrer reflektierten Trägheit vorhanden ist, trägt sie vollständig zum Gesamtträgheitsverhältnis bei. Indem man die Kupplungsträgheit unter 5 bis 10 Prozent der Rotorträgheit des Motors hält – beispielsweise durch die Wahl des kleinstmöglichen Außendurchmessers, der die Drehmoment- und Bohrungsanforderungen erfüllt, durch die Verwendung von Aluminium- statt Edelstahlnaben, sofern die Umgebungsbedingungen dies zulassen, und durch die Berücksichtigung des Kupplungsterms in jeder Servoträgheitsberechnung –, lässt sich eine Quelle für Leistungseinbußen im Servosystem eliminieren, die sich in der Konstruktionsphase leicht vermeiden, nach der Inbetriebnahme jedoch nur schwer diagnostizieren lässt.
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